| Title: | Algebraická analýza konvolucí nadploch |
| Other Titles: | Algebraic analysis of convolutions of algebraic hypersurfaces |
| Authors: | Vršek, Jan |
| Issue Date: | 2012 |
| Publisher: | Západočeská univerzita v Plzni |
| Document type: | rigorózní práce |
| URI: | http://hdl.handle.net/11025/5388 |
| Keywords: | konvoluce;incidenční varieta;varieta parametrů;opěrná funkce;konvoluční stupeň;LN nadplocha;QN nadplocha;koherentní forma |
| Keywords in different language: | convolution;incidence variety;parameter variety;support function;convolution degree;LN hypersurface;QN hypersurface;coherent form |
| Abstract: | V posledních letech se studium konvolucí nadploch (zejména křivek a ploch) stalo aktivní oblastí výzkumu. Například operace ofsetu, tj. jedna z fundamentálních vlastností v počítačově podporovaném designu (CAD) není nic jiného než konvoluce s kružnicí/kulovou plochou. Hlavním cílem předkládané práce je poskytnout teoretickou analýzu konvolucí nadploch z algebraického úhlu pohledu. Té bude věnována zejména první část práce. Přestože dokážeme, že konvoluce ireducibilních nadploch je téměř vždy ireducibilní, může se v některých případech rozpadnout na více komponent. Horní odhad jejich počtu nalezneme s využitím tzv. konvolučního stupně. Pro ten bude v případě křivek odvozena formule, vyjadřující konvoluční stupeň v závislosti na algebraickém stupni a rodu křivky. Detailní analýze budou podrobeny speciální a degenerované komponenty. Dále věnujeme speciální pozornost racionálním nadplochám a racionálním komponentám jejich konvolucí. V druhé části práce se zaměříme na dvě nejjednodušší třídy algebraických nadploch vzhledem k operaci konvoluce, konkrétně na nadplochy s konvolučním stupněm jedna a dva. Zatímco první jmenovaná třída se ukáže být totožná s~již známou třídou LN~nadploch, významným zástupcem druhé třídy jsou nadsféry. Racionalita konvolucí s těmito nadplochami bude detailně prozkoumána. Navíc pro křivky odvodíme formuli umožňující vypočítat rod jejich konvoluce s obecnou křivkou. Závěrem bude nalezen rozklad křivek nízkého konvolučního stupně na konvoluci konečně mnoha jednoduchých fundamentálních křivek. |
| Abstract in different language: | In recent years, studying convolutions of hypersurfaces (especially of curves and surfaces) has become an active research area. For instance, one of the fundamental operations in Computer Aided Design, i.e., offsetting, can be expressed as the convolution with a circle/sphere. The main goal of the thesis is to provide the theoretical analysis of convolutions of hypersurfaces from the algebraic point of view. This goal will be accomplished in the first part of the thesis. Although we will prove that the convolution of irreducible algebraic hypersurfaces is generically irreducible, it can still decomposes into more irreducible components. The upper bound for the number of components, in the terms of the so-called convolution degrees of the hypersurfaces, will be given. Further, a formula expressing the~convolution degree of a plane curve using the algebraic degree and the genus of the curve will be derived. In addition, a detailed analysis of the so-called special and degenerated components is provided. The special attention will be devoted to rational hypersurfaces and rational components The second part of the thesis will focuse on the two simplest classes of algebraic hypersurfaces with respect to the operation of convolution, namely on the hypersurfaces with the convolution degree one and two. The former case turns out to coincide with the well-known LN hypersurfaces, i.e., hypersurfaces with Linear Normals, and the most prominent example of later hypersurfaces are hyperspheres. The problem of rationality of convolutions with these hypersurfaces will be studied in more detail. In the curve case, the genus formula is derived. Moreover the decomposition of curves with low convolution degree into the convolution of finite number of simple fundamental ones will be provided. |
| Rights: | Plný text práce je přístupný bez omezení. |
| Appears in Collections: | Rigorózní práce / Rigorous theses (KMA) |
Files in This Item:
| File | Description | Size | Format | |
|---|---|---|---|---|
| thesis_final.pdf | Plný text práce | 2,39 MB | Adobe PDF | View/Open |
| skolitel-odp-vrsek.pdf | Posudek vedoucího práce | 68,57 kB | Adobe PDF | View/Open |
| posudky-odp-vrsek.pdf | Posudek oponenta práce | 144,36 kB | Adobe PDF | View/Open |
| zapis-rndr-vrsek.pdf | Průběh obhajoby práce | 74,96 kB | Adobe PDF | View/Open |
Please use this identifier to cite or link to this item:
http://hdl.handle.net/11025/5388Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.